Le paradoxe des anniversaires : Détail et explication

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+ Le contexte

Beblog regroupe plein de personnes talentueuses, en partant des rédacteurs aux collaborateurs sans oublier les reporteurs et les membres fondateurs, les sympathisants  la famille ne cesse de grandir. pour pouvoir rendre le groupe plus attrayant et convivial nous avions décidé lors d’une rencontre de commémorer prochainement les anniversaires de ces membres et pour ce faire chacun devait se présenter et donner sa date de naissance. A peine une dizaine de personne qui se présente et paff on se rend compte que deux ont la même date d’anniversaire. Ouf exclamation d’étonnement, ‘c’est incroyable’, ‘magique’, ‘c’est un signe’, ‘c’est le destin’ (ah oui surtout qu’ils étaient de sexe opposé).

+ L’étonnante découverte

En tant que vrai curieux j’ai  donc voulu savoir quelle était la probabilité que ça arrive, en d’autres mots  le nombre de personnes à partir duquel la probabilité que deux d’entre elles fêtent leur anniversaire le même jour serait supérieure à 50 pourcent, et du coup qu’il y ait plus de chances qu’ils aient la même date d’anniversaire que des dates contraires …et je l’ai découvert aussi intrigant que vrai, une vérité implacable défiant mes  appréhensions mes préjugés troublante mais  incontestable  il s’agissait de 23 personnes , 

De plus à partir de 50 personnes la probabilité était de 97 pourcent que deux d'entre eux aient la même date .... et ça avait un nom Le paradoxe des anniversaires Cliquez pour tweeter

+ Le paradoxe des anniversaires

 Ce paradoxe est le résultat de l’estimation probabiliste du nombre de personnes que l’on doit réunir pour avoir au moins une chance sur deux que deux personnes de ce groupe aient leur anniversaire le même jour. Il se trouve que ce nombre est 23, ce qui choque un peu l’intuition. À partir d’un groupe de 57 personnes, la probabilité est supérieure à 99 %.

Il s’agit d’un paradoxe non pas dans le sens de contradiction logique, mais dans le sens où c’est une vérité mathématique qui contredit l’intuition : la plupart des gens (moi avant sa decouverte et vous surement si vous le saviez pas ) estiment que cette probabilité est très inférieure à 50 %. Oui mais comment c’est possible ?

+ D”abord comprenons le probleme 

Le problème des anniversaires revient à choisir un nombre n d’éléments dans un ensemble qui en comprend Nsans retrait ; c’est-à-dire sans retirer les éléments choisis, si bien que certains peuvent être identiques. Le paradoxe des anniversaires est bien un cas de ce type, car chacun a une date d’anniversaire plus ou moins aléatoire, et il n’y a pas a priori de raison autre que la probabilité pour que deux dates soient identiques ou différentes ( attendez je détaille ne partez pas ).

Pour faire simple imaginez que vous soyez n personnes  en salle le professeur amène une urne avec des boules numérotées de 1 a N . chacun passe choisir une boule note le numéro et la repose, Quelles sont les chances pour que 2 boules tirées au moins soient identiques? ou au contraire pour que toutes soient différentes ? c’est la même chose pour les anniversaires 

+ Une  autre approche pour comprendre

La clé consiste à se demander quelles sont les chances qu’aucune paire de personnes soit née le même jour. Pour chaque personne ajoutée dans la pièce, le nombre de dates non déjà prises diminue. La première personne a donc 365 choix, la deuxième 364, la troisième 363, la quatrième 362, et ainsi de suite.

Le problème consiste à se demander si une quelconque paire d’individus dans la pièce a la même date d’anniversaire.

Dans un groupe de vingt-trois personnes, il y a 23 × 22 ÷ 2 = 253 paires possibles, ce qui représente plus de la moitié du nombre de jours contenu dans une année. toujours pas convaincu?, parlons mathématiques alors ( t’as quand même lu paradoxe dans le titre ,tu t’attendais à quoi? )

 

+ Demonstration 

 

 On va calculer la probabilité pour que, dans un groupe de k personnes, ces personnes aient toutes un jour d’anniversaire différent.

  • Qd on a 2 personnes, la première peut avoir son anniversaire n’importe quand, la seconde n’importe quel autre jour. On a donc :
  • Quand on a 3 personnes, la troisième doit avoir son anniversaire un jour différent des 2 autres :
  • On peut réitérer le raisonnement. Pour un groupe de k personnes, on obtient :

Une petite application numérique donne :

 

 

Nombre de personnes Probabilité pour que les anniversaires tombent tous un jour différent
1 1
2 0.99
5 0.97
10 0.88
20 0.58
22 0.52
23 0.49
30 0.29
50 0.03

Il ne faut donc que 23 personnes pour qu’il y ait plus d’une chance sur 2 pour que 2 personnes aient leur anniversaire le même jour, contrairement à ce que l’intuition laisse présumer. A partir de 50 personnes, il n’y a que 3% de chances que tous les anniversaires diffèrent! vous vous rendez compte ? si vous rassemblez 50 personnes vous avez 97 pourcent de chance que deux parmis elles aient la meme date danniversaire etonnant n’est ce pas ?

( oui mais on s”en fout non ? pas vraiment )

+ Un paradoxe tres utile dans la vie réelle

Ce paradoxe a son importance en cryptographie, lorsqu’on étudie les fonctions de hachage. Une telle fonction calcule le résumé d’un texte, en vue de le signer. Pour que cette méthode soit fiable, il ne faut pas que quelqu’un puisse produire 2 textes aux sens très différents, mais donnant le même résumé (ex : l’attaquant produit 2 textes, et introduit de ci, de là, des espaces jusqu’à obtenir le même résumé).  Si le haché (= le résumé) est codé sur b bits, il y a 2b résumés possibles. Si l’on prend k textes différents, la probabilité pour que 2 textes aient le même haché est donc :

Combien l’attaquant doit-il essayer de textes avant de trouver le même résumé avec une probabilité d’au moins un demi? On va faire quelques approximations, et d’abord, en vue de l’égalité de Taylor :

On a alors :

Il faut donc que :

Une application numérique donne :

 

Taille du haché (en bits) Nombre de textes à essayer
8 13
16 213
32 54562
64 9,6×109
128 1,5×1019
160 1,0×1024
256 2,8×1038

 

 

On considère en général, pour obtenir un niveau de sécurité correct, qu’il faut prendre une taille de résumé d’au moins 128 bits!

 

Bah nous voilà au terme de notre visite d’un paradoxe très intéressant et très intrigant. Autant dire qu’on a dormi vraiment moins bête après l’avoir compris  et au passage empêché un couple de se former grâce à un ‘signe du destin’, ( pas de raccourcis mec faudra suivre toutes les étapes pour l’avoir)

 

 

 

 

 

 

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